Théorie des ensembles

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIX^e siècle.

Les concepts de base de la théorie des ensembles sont les notions d'« élément », d'« ensemble » et d'« appartenance ». On se donne au départ des objets de base. Ces objets de base peuvent être réunis pour former des ensembles, auxquels ils appartiennent : un ensemble peut ainsi être vu comme une collection d'objets, les éléments (ou membres) qu'il contient. Les ensembles peuvent aussi être vus comme des éléments supplémentaires permettant la création de nouveaux ensembles qui, à leur tour, pourront être réunis en ensembles, et ainsi de suite...

La théorie des ensembles fut âprement controversée, d'abord en raison de la vision nouvelle de l'infini mathématique qu'elle proposait, au travers des cardinaux.

Ensuite, on découvrit que cette théorie, dite naïve car non formalisée, menait à des paradoxes tels que le paradoxe de Russell, parce qu'elle supposait que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction. Pour répondre à ces problèmes, plusieurs mathématiciens reconstruisirent la théorie des ensembles, en utilisant cette fois une approche axiomatique.

Ainsi, initialement disputée, la théorie des ensembles s'est transformée pour devenir une théorie fondamentale des mathématiques modernes : cette dernière est utilisée pour justifier les suppositions faites en mathématiques concernant l'existence d'objets mathématiques, tels que les nombres ou les fonctions, et leurs propriétés.

Toutefois, la théorie initiale de Cantor, avec quelques aménagements, est demeurée intéressante en raison de ses aspects intuitifs, et c'est pourquoi, actuellement, on sépare la théorie des ensembles en deux parties : le domaine de la

théorie naïve des ensembles

et celui de la

théorie axiomatique des ensembles